بینهایت و فراسوی آن: چرا برخی از بینهایت ها از برخی بزرگترند؟
پنجشنبه, ۸ شهریور ۱۳۹۷، ۱۰:۴۴ ق.ظ
تصور متعارف از بینهایت این است که چیزیست بی‌پایان، نامحدود، غیرقابل بررسی و غیرقابل اندازه‌گیری. از زمانی که بشر قادر به فکر کردن شد، بینهایت را همراه با نوعی احساس عجیبِ آمیخته با حیرانی، تردید، فریبندگی و تقدس می نگریست. از طرفی می پرسید آیا اصلا می توانیم فهمی از بی نهایت داشته باشیم: آیا بی نهایت نباید بالذاته خارج از فهمِ متناهی ما باشد؟ اما درمجموع، از سوی دیگر بی میل، یا در واقع، قادر نبود تا آن را نادیده بگیرد.
در قرن چهارم پیش از میلاد، ارسطو با ایجاد یک تمایز به این معما پاسخ داد. او معتقد بود نوعی از بی نهایت وجود دارد که واقعا نمی توان آن را درک کرد. اما نوعی دیگر نیز هست که قابل فهم وآشناست، و جنبه اساسی از واقعیت را تشکیل می دهد. او اولی را "بالفعل" و دومی را "بالقوه" می نامد. یک نامتناهی "بالفعل" آن است که در نقطه ای از زمان قرار دارد. نامتناهی "بالقوه" آن است که در طول زمان جاریست. بنابراین یک شی فیزیکیِ بی نهایت بزرگ، چنانچه وجود داشته باشد، مثالی است از بی نهایت بالفعل. حجم بی نهایتِ آن، در آن واحد وجود خواهد داشت. از طرفی، ساعتی که بی وقفه درحال تیک‌تاک است مثالی است برای بی نهایت بالقوه. این نوع بی نهایت برای همیشه ناکامل می ماند: هرچقدر که ساعت تیک تاک کرده باشد باز هم جایی برای تیکتاکی دیگر باقی می ماند.. ارسطو فکر می‌کرد که چیزی عمیقا مساله‌ساز، اگر نگوییم ناسازگار، درباره بی نهایتِ بالفعل وجود دارد. اما فکر می‌کرد که هر فرآیند بی پایان، بی نهایت‌های بالقوه را تصدیق می کند، مانند فرآیند شمردن، یا فرآیند تقسیم کردن اشیا به اجزاء کوچک و کوچکتر، یا خودِ گذرِ زمان.
در ادامه بیشتر بخوانید...
تمایز ارسطو به شدت موثر واقع افتاد. هر چقدر از اهمیت آن در بحث های بعد از آن بگوییم، اغراق نکرده ایم. این تمایز برای بیش از 2000 سال وضعیتِ ارتدوکسی داشت. اما متفکران بعدی، بر خلاف ارسطو در تمایز بالفعل/بالقوه، ارجاع به زمان را به عنوان استعاره‌ای از یک چیز انتزاعی‌تر تعبیر کردند. عباراتی چون داشتنِ موقعیت "در زمان" یا وجود داشتن "در آن واحد" معنایی وسیع تر از آنچه ارسطو فرض می کرد، یافت. نهایتا، اعتراض به بی نهایت بالفعل تبدیل به اعتراض به این شد که اصلا بی نهایت خود می تواند موضوعی مشروع برای مطالعات ریاضی واقع شود. کانتور به این مساله پرداخت.
دقیقا آن چیزی که کانتور می خواست نشان دهد این بود که بی نهایت خود می تواند با دقتی قابل اعتماد، موضوعِ مشروعی برای مطالعات ریاضی واقع گردد. کانتور نشان داد که ما می توانیم وجود مجموعه های بی نهایت بزرگ را تصدیق کنیم –مانند مجموعه اعداد 1،2،3،4،5،6،... – و ویژگی های ریاضیاتی این مجموعه ها را مورد مطالعه قرار دهیم. تا این حد که هنگامی تمام اعضای چنین مجموعه ای را کنار هم در نظر بگیریم، می توان بی نهایت آنرا "در آن واحد" موجود در نظر گرفت.
مقایسه اندازه مجموعه ها با یکدیگر ایده ایست که در مرکز کار کانتور قرار داشت. شما اغلب اوقات با شمارش اعضای مجموعه ها می توانید بگویید که دو مجموعه هم‌اندازه هستند. برای مثال، فرض کنید که در جلسه ای هستید، فرض کنید که اول تعداد مردان و سپس تعداد زنان موجود در اتاق را می شمارید، معلوم می‌شود تعداد هر دو آنها 12 است. سپس نتیجه می‌گیرید که اندازه مجموعه زنان و مجموعه مردانِ موجود در اتاق برابر هستند. اما برخی اوقات بدون شمارش هم می توانید بگویید دو مجموعه هم‌اندازه اند. باز فرض کنید که در جلسه‌ای هستید، شما نمی دانید چند نفر آنجا حاضراند. اما متوجه می شوید که افراد طوری دور میز نشسته اند که به صورت یک در میان مرد و زن هستند. سپس می توانید بگویید که اندازه مجموعه مردان و مجموعه زنانِ حاضر در اتاق برابر است، اگرچه نمی دانید که هر کدام مجموعه ها چند عضو دارند. اما حتی مواردی هست که می توانید بگوید دو مجموعه هم اندازه اند بدون اینکه در موقعیتی باشید که بتوانید بشمارید. چنانکه می توانید بگویید اندازه مجموعه دوقلو های کوچکتر که تابحال دنیا آمده اند برابر با اندازه مجموعه دوقلو های بزرگ تر است که تابحال دنیا آمده اند. اینجا قاعده اساسی بدین قرار است که هر گاه بتوان هر کدام از اعضای یک مجموعه را با هرکدام از اعضای مجموعه دیگر جفت کرد، آن دو مجموعه برابراند. مانند مثال زنان و مردانی که یکدرمیان نشسته‌اند و یا مثال دوقلو ها.
آیا این اصل به مجموعه های بی نهایت هم تعمیم می یابد؟ کانتور مانعی پیش رو نمی دید. اما حال اوضاع کمی عجیب می شود. دوباره مجموعه اعداد را در نظر بگیرید 1،2،3،4،5،6... .اعضای این مجموعه را می توان به وضوح با اعضای مجموعه اعداد زوج، جفت کرد. 1 با 2 جفت می شود، 2 با 4، 3 با 6 و الی آخر. پس اگر ما اصلی که در بالا گفته شد را به مجموعه های بی نهایت تعمیم دهیم، مجبوریم بپذیریم که مجموعه کل اعداد با مجموعه اعداد زوج هم اندازه اند. اگرچه مجموعه اولی دربردارنده مجموعه دومی، به علاوه تمام اعداد فرد است.
برخی افراد به این موضوع واکنش نشان می دهند و می گویند تا جایی که مجموعه های بی نهایت مد نظر است، مقایسه کردن آنها بی معنی است. اما واکنش کانتور چنین نبود، او چنین ناهنجاری هایی را پذیرفت، او پذیرفت که مجموعه مذکور، یعنی مجموعه اعداد و مجموعه اعداد زوج در واقع به یک اندازه اند. اگرچه این موضوع به اندازه کافی عجیب است، اما چنان بیش از اندازه هم عجیب نیست، شاید بتوانیم نشان دهیم که همه مجموعه های بی نهایت هم اندازه اند. اگر اینگونه باشد، آنچنان هم غیر شهودی بنظر نمی رسد: مجموعه ها یا متناهی اند، که می توان پرسید دقیقا چقدر بزرگ هستند، یا نامتناهی اند، که دیگر نمی توان چنین سوالی پرسبد. اما نه! کشف شگفت انگیز کانتور این است که حتی بین اندازه های بی نهایت نیز تماییزی وجود دارد، و اینجاست که واقعا بیش از اندازه عجیب به نظر می رسد. برخی از مجموعه های بی نهایت از برخی بزرگترند. آن نوع جفت کردنی که مد نظر داشتیم همیشه موجود نیست، حتی زمانی که دو مجموعه مورد نظر بی نهایت باشند.
برای اینکه بفهمیم چرا چنین است، اجازه دهید دوباره روی اعداد متمرکز شویم. نه تنها بی نهایت عدد وجود دارد، بلکه بی نهایت مجموعه از آنها نیز وجود دارد، برخی از مثال ها را در پایین آورده ایم:
مجموعه اعداد زوجی که مد نظرمان بود
مجموعه مربع اعداد
مجموعه اعدادی که کمتر از 100 هستند
مجموعه اعدادی که بزرگتر از 100 هستند
مجموعه اعدادی که بر 13 تقسیم پذیر هستند
مجموعه ای که تنها سه عضو آن 6؛ 17 و 243 است
اما غیر ممکن است که مجموعه های بالا را با اعداد منفرد جفت کرد. کانتور برهان نبوغ آمیزی را اقامه می کند تا نشان دهد هر گاه مجموعه ای از اعداد، با اعداد منفرد جفت شوند، حد اقل یکی از آنها به طور اجتناب ناپذیری از چنگال ما می گریزد و رها می ماند: پس تعداد مجموعه های اعداد، از خود اعداد منفرد بیشتراند. برهان کانتور بر این اساس است که اگر چنین جفت کردنی فرض شود، برخی از این اعداد متعلق به مجموعه متناظر با خود هستند و برخی نه. برای مثال، تصور کنید شش مجموعه ای که قبلتر بیان شد با اعداد یک تا شش جفت شده باشند:
1-مجموعه اعداد زوج
2-مجموعه مربع اعداد
3-مجموعه اعدادی که کمتر از 100 هستند
4-مجموعه اعدادی که بزرگتر از 100 هستند
5- مجموعه اعدادی که بر 13 تقسیم پذیر هستند
6-مجموعه ای که تنها سه عضو آن 6؛ 17 و 243 است
پس 1 متعلق به مجموعه ای نیست که با آن جفت شده، چون که یک زوج نیست.اما 3 متعلق به مجموعه ای که با آن جفت شده است. زیرا کمتر از 100 است، بدین ترتیب 6 متعلق به مجموعه متناظر با خود هست، چون که جز یکی از تنها سه عضو آن است. اجازه دهید اعدادی که عضو مجموعه جفت شده با خود هستند را "مشمول" بنامیم، و آنهایی را که عضو مجموعه جفت شده با خود نیستند را "نامشمول" بنامیم. بنابراین 1،2،4، و 5 همه نامشمول هستند، اما 3 و 6 هر دو مشمول هستند. حال خود اعداد نامشمول مجموعه ای را تشکیل می دهند. و این همان مجموعه ایست که نمی تواند با هیچ عددی جفت شده باشد؛ یعنی همان مجموعه ای که باید از چنگال ما گریخته و تنها رها مانده باشد. اما چرا؟ بسیار خب، فرض کنید که این مجموعه با عددی جفت شده است، مثلا با عدد 821. به عبارتی دیگر، فرض کنید که ما لیست جفت شدگان را از بالا به پایین نگاه میکنیم، نهایتا به این جفت می رسیم:
821- مجموعه اعداد نامشمول.
حال از این پرسش که آیا 821 خودش نامشمول است یا نه، تناقضی بر می خیزید؛ اگر نامشمول باشد، پس باید متعلق به مجموعه ای باشد که با آن جفت شده است(مجموعه نامشمول ها)، پس مشمول است. اما از سوی دیگر اگر مشمول باشد، پس متعلق به مجموعه ای نیست که با آن جفت شده است(مجموعه نامشمولها) پس نامشمول است. هیچ پاسخ قانع کننده ای برای این سوال که آیا 821 مشمول است یا نامشمول وجود ندارد.
بنابراین ما باید بپذیریم که تعداد مجموعه اعداد، از خود اعداد منفرد بیشتر است، در واقع این استدلال یک ویژگی بسیارمهم دارد که به آن باز خواهم گشت، این استدلال را می توان بر همه چیز اعمال کرد: پس تعداد تمام مجموعه موزها از خود موزها و تمام مجموعه ستارگان از خود ستارگان، و تمام مجموعه نقاط در فضا از خود نقاط در فضا، بیشتر است. و تعداد تمام مجموعه هایی از مجموعه موزها، بیشتر از مجموعه موز هاست، و به همین ترتیب الی آخر. به طور کلی، آن ویژگی مهمی که گفتم به آن برمیگردم این است که همیشه تعداد مجموعه چیزهایی از یک نوع مشخص، بیشتر از تعداد اشیا منفرد آن نوع است. و این همان قضیه کانتور است.
اما درباره مجموعه تمام مجموعه ها چه می توان گفت؟آیا تعداد این‌ها بیشتر از تعداد چیزهایی که مجموعه هستند هست؟ آیا تعداد زیر مجموعه آن از مجموعه تمام مجموعه ها بیشتر است؟ قطعاً غیر ممکن است. چطور مجموعه ای از چیزی می تواند بزرگتر از مجموعه ای باشد که همه مجموعه ها را داراست؟
این پارادوکس ارتباط نزدیکی با پارادوکس راسل دارد که به افتخار فیلسوف و ریاضی دان بریتانیایی برتراند راسل نام گذاری شد که در ابتدای قرن 20 آن را کشف کرد. پارادوکس راسل مبنی بر این واقعیت است که گرچه اغلب مجموعه ها عضو خود نیستند اما بنظر می رسد برخی از آنها چنین باشند. برای مثال مجموعه همه موزها عضو خود نیست: چون که مجموعه هست نه موز. اما مجموعه چیزهایی که در بالا در این مقاله گفته شد بنظر می رسد عصو خود هستند: همانطور که در بالا مثال هایی آوردیم. پارادوکس راسل درباره مجموعه های نوع اولی هست: مجموعه تمام مجموعه هایی که عضو خود نیستند. آیا خود این مجموعه عضوی از خودش است؟ همانند این سوال که آیا 821 مشمول است یا نامشمول جواب خرسند کننده ای برای این مساله وجود ندارد.
کانتور از وجود چنین پارادوکس هایی آگاه بود. اما چندان در این رابطه منظم نبود. او مفهومی قدرتمند و نسبتا شهودی از مجموعه ها را توسعه داد که به سادگی منجر به پارادوکس ها نمی شد. بر اساس این مفهوم، اعضای یک مجموع باید «قبل از» خود مجموعه موجود باشد: وجود مجموعه وابسته به اعضای آن است. بنابر این اول موز ها موجود هستند سپس مجموعه موزها. ابتدا مجموعه موز ها وجود دارد و سپس مجموعه مجموعه موز ها. به طور کلی تر ابتدا اشیائی هستند که خود مجموعه نیستند ( موزها، ستاره ها و غیره) سپس مجموعه این اشیا وجود دارند، و سپس مجموعه آنها و همینطور تا بی نهایت. بر اساس این تصور هیچ مجموعه ای عضو خودش نیست، چون که یک مجموعه نمی تواند «قبل از» خودش موجود باشد. ( اگر بخواهیم در باره مجموعه اشیائی که در این مقاله بیان شد صحبت کنیم، ابتدا باید درباره منظورمان از «اشیا» و اینکه چه چیزی «بیان کردن» محسوب می شود دقیق باشیم، سپس قادر خواهیم بود وجود چنین مجموعه ای را بپذیریم اما این مجموعه عضو خودش نخواهد بود) در پی هر مجموعه، مجموعه های جدیدی وجود خواهد داشت که آن مجموعه عضوش است، یعنی مجموعه هایی که قبل از آنکه اعضای آن موجود باشند وجود نداشتند. بنابر این مجموعه ای که شامل تمام مجموعه ها باشد وجود ندارد.
با این حیله می توان پارادوکس راسل را دور زد. چرا که مجموعه تمام مجموعه هایی که عضو خود نیستند اگر موجود باشد، برابر با مجموعه تمام مجموعه ها خواهد بود ( چون در اینجا هیچ مجموعه ای عضو خودش نیست). هر چند بنا به این تصور چنین چیزی وجود ندارد، پس این پرسش که آیا یک مجموعه عضو خودش هست یا نه هیچوقت پیش نمی آید.
به همین ترتیب از این پارادوکس که تعداد مجموعه مجموعه ها بیشتر از خود مجموعه های منفرد است نیز اجتناب می شود. قضیه کانتور تنها زمانی اعمال می شود که اندازه مجموعه ها با هم مقایسه می شوند: این شرط اساسی است که قبلتر به آن اشاره کردم. بنابر این هر چند می توانیم بگوییم تعداد مجموعه موز ها از خود موز ها بیشتر است، به این خاطر که مجموعه همه مجموعه موز ها اندازه ای بزرگتر از مجموعه موزها دارد. اما مقابل آن نمی توان گفت که مجموعه همه مجموعه ها از همه مجموعه ها بیشتر است. چون به این معنا خواهد بود که بگوییم مجموعه همه زیر مجموعه ای که مجموعه هستند، از مجموعه همه چیزهایی که مجموعه هستند اندازه ای بزرگتر دارد. اما بر اساس تصور کانتور این بی معنا خواهد بود،چرا که نه زیر مجموعه مجموعه همه مجموعه ها وجود دارد نه مجموعه همه مجموعه ها. بنابر این این پرسش که کدام بزرگتر هستند هیچگاه شانسی برای مطرح شدن ندارد.
مفهومی از مجموعه ها که در اینجا بیان شد، همانطور که قبلا گفتم مفهمی نسبتا شهودی است. اما آیا این مفهوم به شدت ارسطویی نیست؟ اینجا استعاره ای زمانی وجود دارد که به نفع این ادعاست. مجموعه ها به گونه ای تلقی شدند که «بعد از» اعضای خود بوجود می آیند، به این نحو «همیشه» مجموعه های بیشتری وجود خواهند داشت. بی نهایت انباشتی[collective=] بر خلاف اعضای آن بالقوه است نه بالفعل: وجود آن در «طول زمان» جاریست نه اینکه در نقطه ای «از زمان» قرار داشته باشد. علاوه بر این این بی نهایت انباشیتی به طور قابل بحثی بهترین ادعا برای این عنوان است. مفاهیمی که قبلتر آن را به عنوان تصور استداندارد از بی نهایت لیست کردم را به خاطر بیاورید: بی انتها بودن، بی حد بودن، غیر قابل بررسی بودن و اندازه ناپذیر بودن. این مفاهیم برای تمام رده مجموعه ها اعمال می شود نه نوع بخصوصی از آن. این به نوبه خود بخاطر پیشرفت هایی بود که کانتور از مطالعه دقیق مجموعه ها بدست آورده بود. برای مثال او نشان داد مجموعه اعداد دارای اندازه ای محدود است، به این علت محدود است که به اندازه مجموعه زیر مجموعه های اعداد بزرگ نیست. او همچنین نشان داد که اندازه این مجموعه را می توان به عنوان یک ابزار اندازه گیری تلقی کرد ( البته وارد جزئیات این بخش نشدم). با توجه به آنچه گفته شد آیا نمی توان گفت به یک معنا اندازه مجموعه اعداد «واقعا» متناهی است و چیزی که «واقعا» نامتناهی است، چیزی به کلی متفاوت است؟ آیا آنچه گفته شد به نفع تصور متعارف ارسطویی نیست که می گوید بی نهایت «واقعی» هیچوقت نمی تواند بالفعل باشد، بلکه همیشه بالقوه است؟
شما ممکن است به این صورت اعتراض کنید: گفتن اینکه مجموعه اعداد «واقعا» متناهی است چیزی مخالف با اصطلاحات استاندارد ریاضی است، همچنین به نظر می رسد که با چیزی که اکثر مردم می گویند نیز مخالف باشد. اما قبول دارم که اکثر مردم اگر اصلا علاقه ای داشته باشند با این اصطلاحات صحبت کنند خواهند گفت که مجموعه اعداد متناهی است. اما این در حالی است که اغلب آنها از کارهای کانتور آگاه نیستند. بی شک آنها خواهند گفت که غیر ممکن است که یک بی نهایت از بی نهایت دیگر بزرگتر باشد. نکته ای که به آن اشاره دارم این نیست که اکثر مردم چه می گویند. بلکه این است که آنها چگونه چیزی که می گویند را می فهمند، و چگونه فهم آنها به هر نحوی قادر است شوکی که نتایج کانتور در بر دارد را بپذیرد. در اینچا هیچ چیز به ما تحمیل نشده است. یقینا ما می توانیم بگوییم برخی از مجموعه های بینهایت از برخی بزرگترند، همانطور که ریاضیات رایج زمانه چنین می گوید. اما همچنین می توانیم بگوییم مجموعه اعداد متنهای است، همانطور که(نشان داده ام) چنین ادعایی معقول است. به همین نحو می توانیم به عقبتر بازگردیم و بگوییم اصلا از همان اول چیز ی به نام مجموعه اعداد وجود ندارد، شاید ایده جمع کردن اشیا در یک مجموعه امتیاز بزرگی برای تصور « بی نهایت بالفعل مساعد» از بی نهایت است. طبق تصور کانتور از مجموعه ها ما دیر یا زود خط استدلالی زیر را پی میگیریم: حداقل به جایی خواهیم رسید که خواهیم گفت مجموعه همه مجموعه ها وجود ندارد، چرا از همان اول پیشگیرانه عمل نکنیم؟
هیچکدام از نکاتی که گفته شد حمله ای به گفته ها و اعمال ریاضیدانان نیست. من تنها خواستار احتیاط بیشتر در تفسیر گفته های آنها و کارهایی که انجام می دهند هستم. به طور خاص وقتی صحبت از ارتباط آنها با تصور سنتی از بی نهایت است. در هر صورت تفسیر ارسطو در رابطه با یافته های کانتور چندان اشتباه نبوده است.
ترجمه شده از وبسایت ایان: https://aeon.co/essays/why-some-infinities-are-bigger-than-others
خیلی گنگ بود