عالم ریاضیات-نگاهی ارسطویی به فلسفه ریاضی

این مقاله از جیمز فرانکلین ، یکی از مدافعان دیدگاه ارسطویی به ریاضیات هست. که چند وقت پیش خوندم و ترجمه کردم، البته ترجمه کم و کاستی زیادی داره و خوانندگان ببخشند.

لینک اصلی مقاله :

https://aeon.co/essays/aristotle-was-right-about-mathematics-after-all

  

ریاضیات در مورد چه چیزی حرف می­زند؟ ما می­دانیم که زیست شناسی در مورد موجودات زنده، یا دقیق­تر بگوییم، بخش­های زنده­ی موجودات زنده بحث می­کند، حرکت گربه­ای که از پنجره می­پرد موضوع علم فیزیک است، اما فیزیولوژی گربه مربوط به زیست شناسی است. اقیانوس شناسی در مورد اقیانوس­ها بحث می­کند و جامعه شناسی در مورد رفتار انسان­ها به صورت جمعی و از این گونه موارد. وقتی تمام علوم و موضوعاتشان را مشخص کردیم، آیا جنبه­ای از واقعیت برای قرار گرفتن موضوع ریاضیات باقی می­ماند؟ این یک سوال اساسی در فلسفه ریاضی است.

 

  

اغلب مردم توجهی به فلسفه ریاضیات ندارند، شاید بخاطر عینیت و یقینی­ست که در ریاضیات موجود است. این که ریاضیات یک بار و برای همیشه بر بنیادی از حقایقی محکم و یقینی بنا شده، به عنوان یک چالش برای بسیاری از مواضع فلسفی محسوب می‌شده است؛ نه تنها برای نگرش­های شکاکانه و افراطی پست مدرنیسم که با این موضوع مشکل دارند، بلکه برای تمام نگرش­های ناتورالیستی و تجربه گرایانه، که خواهان یک تبیین "علمی" از واقعیت و آگاهی ما نسبت به آن هستند. مسئله این نیست که چقدر از ریاضیات واقعیت دارد، مهمتر این است که چرا حقایق ریاضی به طور مطلق "ضروری" هستند، چگونه ذهن ما آن­ها را می­فهمد و چرا باید اینگونه باشد؟ تببین این امر که چطور مغز فیزیکی ما این­ها را می­فهمد کاری بسیار دشوار است.

یکی از فیلسوفانی که ضرورت ریاضی را به نوعی ناسازگار می داند، آقای پیتر سینگر(Peter Singer) است. او در یکی از کتاب­های پر فروش خود در مورد اخلاق می گوید که ما نمی­توانیم به شهودهای اخلاقیمان اعتماد کنیم. چون که بسیاری از موارد شهود، در ریاضیات درست نیستند. او می­گوید: «بداهت حقایق اساسی در ریاضیات... را می­توان به وسیله تلقی کردن ریاضیات به عنوان یک سیستم تاتولوژیک توضیح داد... و این­ها تنها بخاطر معانی از پیش­فرض شده نمادها صحیح هستند» اشتباه سینگر اینجاست که می­گوید فلسفه ریاضی لاجیکیسم « توسط عده کثیری پذیرفته شده است»، زیرا که این دیدگاه توسط فلاسفه بسیار مهمی در صد سال اخیر پذیرفته نشده است. [logicism: دیدگاهی که توسط راسل و وایتهد مطرح شد، که تمام ریاضیات قابل تقلیل به منطق است]  اما واضح است که افرادی مانند سینگر می­خواهند بگویند که برای تببین قوه عجیب و غریب شهود [شهود اخلاقی] نیاز به صحت و سقم شهود در سیستم ریاضیات است.

آیا ریاضیات در مورد چیزی صحبت می­کند؟ دو پاسخ وجود دارد: "بله" و "خیر"، که هیچ­کدام به طور عمیق خرسند کننده نیستند. در جواب "خیر"، که بیشتر مدافعان آن­ها نومینالیست­ها[Nominalism] هستند، می­گویند که ریاضیات فقط یک زبان است. در این دیدگاه ریاضیات فقط ابزاری است برای حرف زدن در مورد دیگر اشیاء، یا سیستمی از مجموع حقایق پیش پا افتاده و همانگوی منطقی (همان طور که سینگر ادعا می کند)، یا به عبارتی دستکاری کردن نماد­ها و نشانه­ها بر اساس یک سری قوانین. این­ها واقعا در مورد چیزی نیستند و حقایقی پشت آنها وجود ندارند. کسانی که با مثال­های ریاضی چون "حاصل ضرب منفی در منفی می دهد مثبت" در مدرسه برخورد کرده­اند، ممکن است با تصویر نومینالیستی بیشتر همدل باشند، همچنین مهندسان و فیزیکدان­ها هم تقریبا چنین دیدگاهی دارند، آنها حقایقی را در مورد جهان واقعی، تا آنجا که مربوط به کارشان می­شود از این روابط استخراج می­کنند. آنها به جدول تبدیلات لاپلاس، یا هر ابزار این­چنینی برای راه انداختن کارهایشان رجوع می­کنند، همانطور که فیلسوف آلمانی "کارل همپل" می­گوید، ریاضیات را به عنوان "آبمیوه­گیر تئوریکال" تلقی میکنند: ابزاری برای استخراج حقایق اساسی در مورد جهان واقعی [فیزیکی]، اما به خودی خود تهی از محتوای واقعی و تجربی [خودشان فی نفسه حقیقتی در مورد چیز های موجود در بر ندارند].

نومینالیسم  یک دید زمینی و این-جهانی به قضیه دارد، ولی با تامل بیشتر می­توان دریافت که این دیدگاه نمی­تواند درست باشد. هر چند دستکاری و بازی با نمادها به عنوان یک تکنیک کارایی دارد و مناسب است، اما از طرفی می­بینیم که کشفیاتی در ریاضیات رخ می­دهد که به یک معنا مربوط به عالمی خارجی است. برای مثال، ظرافتی که در توزیع اعداد اول می­بینیم اینگونه هستند، بعضی از اعداد اول هستند و برخی نیستند. یک بسته دوازده تایی تخم مرغ می­تواند در جعبه­ای به ابعاد 3×4 یا 2×6 جای گیرد، اما تخم مرغ­های 11 یا 13 تایی فروخته نمی­شود، چون نمی توان آنها را به صورت مرتب در یک جعبه تخم مرغ قرار داد، چون 11 و 13 برخلاف 12 یک عدد اول است اعداد اول نمی­تواند به فرم حاصل­ضرب دو عدد کوچکتر در بیایند. فهم این ایده بسیار ساده است، اما این بدان معنی نیست که چیزی در مورد آن برای کشف وجود ندارد.

توزیع اعداد اول، دارای الگوهای پیچیده و بی­نظمی های خاصی است. در مقیاس کوچیکتر، دومی [بی نظمی] ملموس تر است: فواصل طولانی بدون هیچ عدد اولی وجود دارند، در فاصله های بسیار بزرگ. در همین زمان اکثرا بر این باور بودند که بی­نهایت اعداد اول دوقلو وجود دارند، اعداد اول دوقلو که کنار هم می­آیند، مثل 43 و 41. 

وقتی به مقیاس بزرگتر برمی­گردیم، بی نظمی­هایی که در توزیع دیده می­شد، محو می­شوند و یک الگوی مرتب نمایان می­شود. تراکم این اعداد وقتی که به جلو پیش می­رویم به صورت تدریجی کم می­شود. تراکم اعداد اول در یک تریلیون (1012) تقریبا نصف توان آن است، یعنی حدود یک میلیون (106). اطلاعات دقیق­تر در مورد اعداد اول را می­توان در فرضیه ریمان [Hypothesis Riemann] جستجو کرد، که اکنون یکی از مشهورترین حدس­های اثبات نشده در ریاضیات محسوب می­شود.

این­ها همه حاصل کاوش در ریاضیات محض است. از حقایق ساده­ای که در مدرسه می­خواندیم (برای مثال: یک عدد وقتی به 9 تقسیم پذیر است، جمع رقم­های آن هم بر 9 تقسیم­پذیر است) گرفته تا مسائل پیچیده تر مربوط به جبر مجرد [Abstract Algebra].

نتایج غیر قابل اجتنابی که ریاضیات محض آن را به ما نشان می­دهد، گویای عالمی دیگریست که انگار در آن حقایقی وجود دارند که پیش از تحقیقات انسانی و حتی زبان انسانی نیز موجود بوده­اند.با الهام از نتیجه­ی بالا، دیدگاه پلاتونیسم [Platonism] یا افلاطون گرایی وجود دارد که در مقابل نومیالیسم قرار می­گیرد. این دیدگاه می­گوید که حقایق ریاضی مربوط به یک عالم غیر فیزیکی می­باشد، مانند مجموعه­ها، اعداد و انواع داده­های انتزاعی ریاضی. این­ها همه در یک عالم عجیب و فراتر از زمان و مکان موجودند. اگر فکر می­کنید این دیدگاه متقاعد کننده بنظر نمی­رسد، توجه کنید که دقیقا همین اشیاء خاص هستند که موضوعات علم ریاضیات محض قرار می­گیرند. پلاتونیسم، همچنین با پیشرفت­های آشکار و بزرگ در اثبات­های ریاضی نیز سازگار است، که به گونه­ای به ما نشان می­دهند که اشیاء در جهان­های ممکن، صرف­نظر از قوانین طبیعت مربوط به یک جهان ممکن خاص، چطور خواهند بود.

اثبات اینکه جذر عدد 2 یک عدد اعشاری است، وابسته به مشاهدات تجربی قوانین طبیعت نیست، و همین گویای این امر است که جذر عدد 2، دارای یک موجودیت است که ورای جهان ناپایدار، مکان­مند، و زمان­مند ما قرار دارد.

اما با وجود تبیین روشن و همچنین تاریخچه دور و دراز، این دیدگاه نمی­تواند کاملا درست باشد. از همان زمان افلاطون تا کنون نومینالیست­ها اعتراض­های شدیدی علیه این نظریه داشته­اند. یکی از آنها این است: اگر این موجودات انتزاعی در یک جهان خارج از جهان ما و مکان و زمان قرار دارند، چطور ما بدون هیچگونه تماس حسی و ادراکی، آنها را می­فهمیم، و با آن جهان ارتباط برقرار می­کنیم؟ یا اصلا چطور می­فهمیم که وجود دارند؟ برخی از پلاتونیست­های معاصر پاسخ داده­اند که ما آنها را استنباط می­کنیم. همانطور که وجود اتم­ها را برای تببین آزمایش­های شیمیایی استنباط می­کنیم. اما این ادعا به نظر نمی­رسد که برای اعداد هم صادق باشد. یک بچه­ی پنج ساله می­تواند به راحتی و بدون هیچ­گونه استدلال و استنباط­های پیچیده در مورد اشیاء انتزاعی، شروع به شمردن کند. در واقع آنها با جنبه­ی عددی واقعیت تماس برقرار می­کنند، تماسی که بیشتر ادراکی و مستقیم است. حتی برخی از حیوانات این توانایی را دارند و می­توانند بشمارند.

اما در هر حال، مشکل اصلی که متوجه پلاتونیسم است، این نیست که معرفت ما به موجودیت­های ریاضی چطور شکل می­گیرد. مطمئنا وقتی ما کار محاسبه و اندازه­گیری و یا دست به مدل سازی شرایط آب و هوایی می­زنیم، در واقع ما با مشخصه­های واقعی جهان سروکار داریم. این مشخصه­ها، ابژه­های انتزاعی نیستند، مانند رنگ­ها که دارای قدرت علّی هستند که در دید ما اثر می­گذارند و ما آن را می­بینیم. یک سیستم بصری به سادگی می­تواند این مشخصه­ها (مثلا نسبت قد من به قد شما، اگر پشت سر هم بایستیم) را تشخیص دهد، در اینجا هیچ نوع موجود انزاعی وجود ندارد، حتی اگر هم وجود داشته باشد در این مورد جایی ندارد.

نومنیالیست­ها و پلاتونیست­ها از قدیم­الایام تا کنون با هم در جنگ بوده­اند و هر کدام نقدهای کشنده­ای را علیه طرف مقابل ارائه داده­اند که درواقع هیچکدام نتواستند خود را پیروز قصه اعلام کنند.

زمین را تصور کنید، قبل از این که انسانی برای فکر کردن به ریاضیات و نوشتن فرمول­ها و روابط آن وجود داشته باشد. آن موقع دایناسورهای کوچک و بزرگ، درخت ها، آتشفشان و رودهای جاری وجود داشته­اند. آیا این مشخصه­های طبیعی که به صورت ریاضی بیان می­کنیم، آن زمان هم موجود بوده­اند؟ یا به عبارتی دیگر، در بین مشخصه­های اشیاء واقعی موجود آن موقع (نه در دنیای انتزاعی)، آیا مشخصه­ هایی هم وجود داشته­اند که به عبارتی ریاضی گونه باشند؟ 

پاسخ "بله" است، مشخصه­های زیاد این­چنینی وجود داشته­اند. برای مثال، یکی از این ویژگی­ها، تقارن [Symmetry] است، مانند خیلی از حیوانات، دایناسورها هم دارای شکلی متقارن بوده­اند، درخت­ها و آتش فشان­ها شکلی دایره وار و تقریبا متقارن داشته اند. وقتی از بالا به آن نگاه می­کنیم، انگار که روی یک محور دوران داشته است. این قضیه در مورد تخم مرغ هم صادق است. اما تقارن چه دقیق و چه تقریبی، مشخصه ایست که نمی­توان آن را به طور دقیق، فیزیکی تلقی کرد. چیز های غیر فیزیکی هم می­توانند تقارن داشته باشند. برای مثال، یک استدلال می­تواند متقارن باشد، اگر نصف استدلال، برعکس نصف دوم چیده شود. تقارن، بی مناقشه یک خاصیت ریاضی می­باشد که مربوط به یکی از شاخه­های ریاضی محض، یعنی تئوری گروه­ها (Group Theory) می­باشد. وقتی تقارن در یک شئ فیزیکی وجود داشته باشد، به راحتی برای سیستم ادراکی ما آشکار می­گردد. مثلا اگر شما یک قیافه غیرمتقارن دارید، وارد سیاست نشوید! چون در تلویزیون و رسانه­ها ممکن است اثر خوبی نداشته باشد! برخلاف موجودات انتزاعی افلاطون، تقارن مانند دیگر خواص ریاضی می­تواند نیروی علّی و تاثیرگذاری روی طبیعت داشته باشد.

یکی دیگر از این مشخصه­های ریاضی که مانند تقارن در خیلی از اشیاء فیزیکی وجود دارد، نسبت (Ratio) است. ارتفاع قد دو دایناسور، بزرگ و کوچک، دارای نسبتی مشخص است. نسبت حجم آنها متفاوت است، در واقع نسبت حجم دارای مقداری بسیار بزرگتر از نسبت ارتفاع است، و همین ویژگی است که دایناسورهای بزرگ را زمخت و وحشتناک و دایناسورهای کوچک­تر را ظریف­تر می­سازد. یک نسبت می­تواند گویای رابطه بین دو ارتفاع، دو حجم، و یا دو فاصله باشد. درواقع این یک رابطه است که اشیاء فیزیکی مختلف به طور مشترک با هم برقرار می­کنند و بنابراین بیشتر یک مشخصه ریاضی محسوب می­شود تا فیزیکی. اگر بخواهیم دقیق­تر تعریف کنیم، نسبت، رابطه ایست که طول یک چیز را در رابطه با یک واحد اختیاری انتخاب شده نشان می­دهد.

هر گونه انحراف و تمایل به سمت ریاضیات کاربردی، به نحوی برای دیدگاه­های قبلی خطر محسوب می­شود. البته آن دسته از فیلسوفان ریاضی که بیشتر کار روی زمینه­های منطق و اعداد را ترجیح می­دهند، به ندرت به این سمت تمایل پیدا می­کنند. بسیاری از مشخصه­های کیفی و ساختاری وجود دارند که خود فیزیکی نیستند، اما می­توان به وسیله جهان فیزیکی آنها را فهمید. برای مثال، مفاهیمی مانند جریان­ها، رابطه­های ترتیبی، پیوستگی و گسستگی، خطی بودن، توپولوژی­ها و بسیاری موارد دیگر.

دیدگاه دیگری نیز در فلسفه ریاضی وجود دارد که تاکید بیشتری بر روی ارتباط مشخصه­های ریاضی و جهان واقعی دارد. این دیدگاه، رئالیسم ارسطویی [Aristotelian Realism] نام دارد. ارسطو بر خلاف استادش افلاطون، معتقد بود که چنین مشخصه­هایی، در خود اشیاء فیزیکی موجودند، نه در جهان انتزاعی دیگر. این دیدگاه ریاضیات را به عنوان "علم کمیت" می­شناسد، که تا زمان نیوتون دیدگاه غالب بود، اما بعد از آن کم کم از کانون توجه خارج شد.

چون رئالیست ارسطوئی بر قابل فهم بودن حقایق ریاضی از طریق مشخصه­های فیزیکی تاکید دارد، می­تواند یک توجیه سرراست برای معرفت ما به حقایق ریاضی از طریق ادراکات حسی ارائه دهد، درست همانند دیگر حقایق. برای مثال، ما می­توانیم نسبت طول اجسام را ببینیم. بچه­های کوچک و همچنین حیوانات می­توانند الگوها را تشخیص دهند و تقارن را تخمین بزنند (هرچند با درجه ای از تقریب).

قوه­ی ذهنی ما انسان­ها دارای دو ویژگی عمده است که عملیات ادراک را انجام می­دهد. اولی قدرت تجسم (Visualization) است، که به ما اجازه می­دهد تا روابط ضروری بین حقایق ریاضی را متوجه شویم. برای مثال، این تمرین ساده ذهنی را انجام دهید: شش خط را تصور کنید که به صورت دو ردیف سه تایی قرار دارند، هر سطر دقیقا بالای دیگری. من هم دقیقا همین شش خط را می­توانم طور دیگری تجسم کنم، سه ستون که دو تایی، پس بنابراین، می­توانیم بگوییم 2×3=3×2، در اینجا این­گونه نیست که من فقط متوجه این حقیقت باشم که 2×3 برابر است با 3×2، بلکه به این امر نیز واقفم که چرا «باید» این تساوی برقرار باشد. پس توجه پلاتونیست­ها به چگونگی فهم ما از ضرورت­های ریاضی بجا بوده است، اما آنها متوجه این امر نمی­شدند که اغلب این حقایق را می­توان در همین جهان واقعی درک کرد.

ویژگی دوم، قدرت اثبات (Proof) است. کار اثبات ریاضی، در کنار هم گذاشتن مجموعه حقایقی می­باشد ک توسط قوه اول (تجسم) دریافت می­کنیم (مانند همان 2×3=3×2)، تا ضرورت حقایقی که در نگاه اول قابل فهم نیستند را بر ما آشکار سازد. مانند تراکم اعداد اول در میان دیگر اعداد (که همینطور در نگاه اول مشهود نیستند، اینجا اثبات وارد میشود).

البته رئالیسم ارسطویی رابطه خوبی با ناتورالیسم (Naturalism) یا طبیعت گرایی  ندارد، پروژه­ای که مدعی است که تمام جهان و معرفت انسانی را می­توان به وسیله فیزیک، زیست­شناسی و نورون­شناسی تبیین کرد. اگر مشخصه­های ریاضی در همین دنیای فیزیکی فهمیده می­شوند و قابل ادراک هستند، پس می­توان گفت که دیگر تببین ریاضیات چیزی بیشتر ازتببین ادراک ما از رنگ­ها نمی­باشد. از طرفی، ارسطو گراها با پلاتونیست­ها موافق­اند که چگونگی فهم ما از ضروریات ریاضی، امری عجیب و رازآلود است. هرآنچه که ضروری است، در تمام جهان­های ممکن بدون هیچ گریزی صادق است. اما چگونه می­توانیم جهان­های ممکن را ببینیم؟ اسکولاستیک­ها (ارسطوئیان کاتولیک قرون وسطی)، سخت تحت تاثیر این قضیه بودند و مایل بودند که غیر مادی بودن و ابدی بودن ذهن را بر اساس همین امر نتیجه بگیرند. اگر ناتورالیست­ها علاقه­ای به قبول این امر ندارند و فکر می­کنند فهم ما از ریاضیات به سادگی دیگر ادراک حسی است، یک چالش برای آن ها وجود دارد: "چیزی نگو، بلکه نشانم بده". یک سیستم هوش مصنوعی طراحی کنید تا بتواند بینش­های واقعی ریاضی را تقلید کند، اما بنظر می­آید طرح امیدوار کننده­ای وجود نداشته باشد. مکتب­های متداول فلسفه ریاضی از ارائه یک نظریه معتبر در این زمینه عاجز مانده­اند. در مورد این واقعیت ساده که چطور ریاضیات، حقایقی در مورد جهان را برای ما فاش می­کند؛ نومینالیزم با تقلیل ریاضایت به نماد های ساده و ناچیز، و پلاتونیزم با افتراق و طلاقی که بین این دو جهان به وجود می­آورد، هر دو از ارائه یک طرح کامل عاجز مانده­اند. اما رئالیسم ارسطویی یک شروع جدید است، این نظریه فلسفه ریاضی را به کاربرد ریاضیات متصل می­سازد، زمینه کابردی که همیشه بستری حاصل خیز برای رشد و کشفیات ریاضی محسوب می­شده است.

این نگرش دو پیام ارزشمند برای ما در بر دارد، هم در زمینه فلسفه و هم ریاضی. اول این که نه بوسیله نمادها و علائم کور شویم (به طوری که فرض کنیم هیچ چیز غیر از نمادها وجود ندارد)، و نه در جهان انتزاعی غرق و گم شویم. فقط چشمانمان را باز کنیم و با دقت به مشاهده ساختار ریاضی جهان واقعیمان بپردازیم.